Left Arrow Icon

Rumus Matematika SMA

Jangan Lupa 5 Bintang

Rumus Matematika SMA

Jangan Lupa Rate 5 Bintang, Kunjungi Account Developer Kami Dan Dapatkan Aplikasi Bermanfaat Lainnya.

Back

Contoh Soal dan Pembahasan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Contoh Soal dan Pembahasan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Contoh Soal 1
Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut ini dengan metode substitusi:
x + y = 8
2x + 3y = 19

Jawab : 
x + y = 8…. (1)
2x + 3y = 19 … (2)
x + y = 8
x = 8- y

Subtitusikan x = y – 8 ke dalam persamaan 2 
 
2 (8- y) + 3y = 19
16 - 2y + 3y = 19
16 + y = 19
y = 3

Subtitusikan y = 3 ke dalam persamaan 1
 
x + 3 = 8
x = 5

Jadi, penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah x = 5 dan y = 3

Contoh Soal 2
Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut dengan metode eliminasi:
2x – y = 7
x + 2y = 1

Jawab :

Eliminasi x
2x – y = 7 | x1 --> 2x – y = 7 ... (3)
x + 2y = 1 | x2 --> 2x – 4y = 2 ... (4)

2x – y = 7
x + 2y = 1 -
    -5y = 5
y = -1

Eliminasi y
2x – y = 7 | x2 --> 4x – 2y = 14 ... (5)
x + 2y = 1 | x1 --> x + 2y = 1 ... (6)

4x – 2y = 14
  x – 2y = 1 -
       5x =15
        x = 3

Jadi, penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah x = 3 dan y = -1

Contoh Soal 3
Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut dengan metode campuran:
x + y = -5
x – 2y = 5

jawab :

Eliminasi x
x + y = -5
x – 2y = 5 -
      3y = -9
        y = -3

Substitusi y
x + (-3) = -5
x = -2

Jadi, penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah x = -2 dan y = -3

Contoh Soal 4
Umur Melly 7 tahun lebih muda dari umur Ayu. Jumlah umur mereka adalah 43 tahun. Tentukanlah umur mereka masing-masing !

Jawab :
Misalkan umur melly = x dan umur ayu = y, maka
y – x = 7… (1)
y + x = 43… (2)

y = 7 + x

subtitusikan y = 7 + x kedalam persamaan 2

7 + x + x = 43
7 + 2x = 43
2x = 36
x = 18
y = 7 + 18 = 25

Jadi, umur melly adalah 18 tahun dan umur ayu 25 tahun.
 
Contoh Soal 5
sebuah taman memiliki ukuran panjang 8 meter lebih panjang dari lebarnya. Keliling taman tersebut adalah 44 m. tentukan luas taman !

Jawab :Luas taman = p x l
P = panjang taman
L = lebar taman

Model matematika :
P = 8 + l
k = 2p + 2l
2 ( 8 + l) + 2l = 44
16 + 2l + 2l = 44
16 + 4l = 44
4l = 28
l = 7

P = 7 + 8 = 15
Luas = 7 x 15 = 105 m2

Jadi, luas taman tersebut adalah 105 m2


sumber : http://www.rumusmatematikadasar.com
Home
Back

Contoh Soal Persamaan Linear Satu Variabel Dalam Kehidupan Sehari-hari

Contoh Soal Persamaan Linear Satu Variabel Dalam Kehidupan Sehari-hari

Contoh Soal 1    
Pak Sarif memiliki sebidang tanah berbentuk persegi panjang, Lebar tanah tersebut 5 meter lebih pendek dari panjangnya. Keliling tanah pak Sarif adalah 50 meter. Berapakah ukuran panjang dan lebar tanah Pak Sarif?

Penyelesaiannya :

Diketahui : keliling tanah = 50 m
Misalkan ukuran panjang tanah = x, maka lebar tanah = x -5
Keliling tanah = keliling persegi panjang
     50 = 2 ( p + l)
     50 = 2 ( x + x – 5)
     50 = 2 ( 2x – 5)
     50 = 4x – 10
                  50 + 10 = 4x
                           60 = 4x
                      60 : 4 = x
                            15 = x
Panjang tanah = x = 15 meter
Lebar tanah = x – 5 = 15 – 5 = 10 meter



Contoh Soal 2   
Diketahui jumlah tiga bilangan genap yang berurutan adalah 66. Tentukanlah bilangan yang paling kecil!

Penyelesaiannya :

Diketahui  : Tiga bilangan genap berjumlah 66
Bilangan genap memiliki pola +2, misalkan bilangan genap yang pertama adalah x, maka bilangan genap kedua dan ketiga berturut-turut  adalah x + 2, dan x + 4, sehingga:

Bil.1 + Bil.2 + Bil. 3 = 66
    x + (x+2) + (x+4) = 66
            3x + 6 = 66
                  3x =  60
                     x = 20
bilangan genap pertama = x = 20
bilangan genap kedua = x + 2 = 20 + 2 =22
bilangan genap ketiga = x + 4 = 20 + 4 = 24


Contoh Soal 3
Nilai x yang memenuhi persamaan 3x + 5 = 14 adalah…

Penyelesaiannya :
             3x + 5 = 14
                    3x = 14 – 5
                    3x = 9
                     x  = 9 : 3
                     x =  3


Contoh Soal 4
Untuk persamaan 4x + y = 12, jika x = -1 maka y adalah…

Penyelesaiannya :
               4( -1) + y = 12
                    -4 + y = 12
                          y = 12 + 4
                           y = 16


Contoh Soal 5
Nilai x yang memenuhi persamaan  5x- 7 = 3x + 5 adalah..

Penyelesaiannya :
            5x- 7 = 3x + 5
              5x – 3x = 5 + 7
                       2x = 12
                          x = 6

sumber : http://www.rumusmatematikadasar.com
Home
Back

Cara Mudah Menghitung Luas Permukaan Bidang Empat Beraturan

Cara Mudah Menghitung Luas Permukaan Bidang Empat Beraturan


Pertama-tama kalian harus memperhatikan gambar limas segitiga sama sisi (bidang empat beraturan) T.ABC berikut ini:

Bila diperhatikan, pada bangun ruang di atas terdapat empat buah segitiga sama sisi yang luasnya tentu saja sama. Segitiga sama sisi itu adalah ΔABC, ΔBCT, ΔACT, dan ΔABT. Rumus mudah dan cepat untuk menghitung lkuas segitiga sama sisi tersebut adalah:

 L.Δ = ¼s2√3

Ada empat permukaan bidang empat (limas segitiga sama sisi) dengan luas yang sama pada gambar di atas, maka:
L = 4 × L.Δ
L = 4 × ¼s2√3
L = s2√3

Jadi, rumus untuk mencari volume (V) bidang empat beraturan yang memiliki panjang rusuk (s) adalah:

L = s2√3

Contoh Soal 1:
Diketahui sebuah bidang empat beraturan mempunyai panjang rusuk 8 cm. Berapakah  luas permukaan bidang empat beraturan tersebut?

Penyelesaiannya:
L = s2√3
V = (8 cm)2√3
V = 64√3 cm2

Jadi, luas permukaan bidang empat beraturan tersebut adalah 64√3 cm2

sumber : http://www.rumusmatematikadasar.com
Home
Back

Contoh Soal dan Pembahasan Cara Menghitung Jarak Titik ke Garis Pada Kubus

Contoh Soal dan Pembahasan Cara Menghitung Jarak Titik ke Garis Pada Kubus

Contoh Soal 1
Diketahui panjang rusuk sebuah kubus ABCD.EFGH adalah 6cm. Maka hitunglah jarak:

a).titik D ke garis BF
b).titik B ke garis EG

Penyelesaiannya:

a).Agar lebih mudah dalam menjawabnya, mari kita perhatikan gambar di bawah ini:


Dari gambar di atas kita bisa melihat bahwa jarak titik D ke garis BF adalah panjang diagonal BD yang dapat ditentukan dengan menggunakan teorema phytagoras ataupun dengan rumus. Mari kita selesaikan dengan teorema phytagoras terlebih dahulu:

BD2 = AB2 + AD2
BD2 = 62 + 62
BD2 = 72
BD = √72 = 6√2 cm

beikut bila kita mencarinya dengan menggunakan rumus:

d = s√2
BD = AB√2
BD = (6 cm)√2
BD = 6√2 cm

Maka, jarak titik D ke garis BF adalah 6√2 cm



b). Sama halnya dengan soal a) kita juga harus membuat gambarnya terlebih dahulu agar lebih mudah mengerjakannya.


Dari perhitungan pada soal a) diketahui bahwa panjang diagonal sisi kubus FH = BD adalah 6√2 cm

Untuk mengetahui panjang BP, kita gunakan teorema phytagoras untuk segitiga siku-siku BFP:

FP = ½ FH = 3√2 cm

maka:

BP2 = FP2 + BF2
BP2 = (3√2)2 + 62
BP2 = 18 + 36
BP2 = 54
BP = √54 = 3√6 cm

Maka,jarak titik B ke garis EG adalah 3√6 cm

sumber : http://www.rumusmatematikadasar.com
Home
Back

Contoh Penerapan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Dalam Soal Cerita

Contoh Penerapan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Dalam Soal Cerita

Contoh Soal 1
Pada pertunjukan seni terjual 500 lembar karcis yang terdiri dari karcis kelas Ekonomi dan Karcis kelas Utama. Harga karcis kelas Ekonomi adalah Rp. 6000,00 dan kelas Utama adalah Rp. 8000,00 . Jika hasil penjualan seluruh karcis adalah Rp.3.360.000,00 . berapakah jumlah karcis kelas Ekonomi yang terjual ?

Penyelesaiannya : 
Misal jumlah karcis kelas ekonomi = a, jumlah karcis kelas Utama= b

Maka
a + b  = 500 …. (1)
6000a + 8000b = 3.360.000à 6a + 8b = 3.360… (2)
Eliminasi b 
a + b  = 500        | x 8
6a + 8b = 3.360| x 1

8a + 8b = 4000
6a + 8b = 3.360 –
         2a = 640
           a = 320

Jadi banyaknya karcis kelas ekonomi yang terjual adalah 320 karcis


Contoh Soal 2
Dea dan Anton bekerja pada pabrik tas. Dea dapat menyelesaikan 3 buah tas setiap jam dan Anton dapat menyelesaikan 4 tas setiap jam. Jumlah jam kerja Asti dan Anton adalah 16 jam sehari, dengan jumlah tas yang dibuat oleh keduanya adalah 55 tas.  Jika, jam kerja keduanya berbeda tentukan jam kerja mereka masing-masing!

Penyelesaiannya : 
Misal jam kerja Dea = a, jam kerja Anton = b

Maka
3a + 4b = 55 | x 1
a + b = 16     |x 3

3a + 4b = 55
3a + 3b = 48 –
          b = 7
a = 16 -7 = 9

Jadi, Dea bekerja selama 9 jam dan Anton bekera 7 jam dalam sehari


Contoh Soal 3
Jumlah dua bilangan adalah 200. Dan selisih bilanga itu adalah 108. Tentukan lah bilangan yang paling besar diantara keduanya.

Penyelesaiannya : 
Misal bilangan yang terbesar a, dan yang terkecil b

Maka
a + b = 200
a – b = 108 +
      2a = 308
        a = 154
Jadi, bilangan yang terbesar adalah 154


Contoh Soal 4
Aldi membeli 4 buku dan 5 pensil seharga Rp.24.000,00 . ida membeli 6 buku dan 2 pulpen seharga Rp. 27.200,00. Jika Mira ingin membeli 3 buku dan 2 pensil berapa yang harus dibayar Mira?

Penyelesaiannya : 
Misal buku = b, dan pensil = p
4b + 5p = 24.000 | x 2
6p + 2p = 27.200 | x 5

8b   + 10p =   48.000
30p + 10p = 136.000 –

          -22b = 88.000
               b = 4000

4(4000) + 5p = 24.000
                  5p= 8000
                    p= 1600

3b + 2p = 3(4000) + 2(1600) = 15.200

Jadi, Mira harus membayar Rp. 15.200,00


Contoh Soal 5
Sebuah toko menjual dua jenis tepung sebanyak 50 kg. Tepung jenis I seharga Rp.6000,00 dan Tepung jenis II seharga Rp. 6.200,00.  Seluruh tepung habis terjual dan pedagang mendapatkan Rp. 306.000,00. Buatlah model matematika dari persoaan tersebut!

Penyelesaiannya : 
Misal berat tepung jenis I = x dan tepung jenis 2 = y

Maka
x + y = 50
6000x + 6200y = 306.000 à  60x + 62 y = 3.060

Jadi persamaanya adalah  x + y = 50 dan 60x + 62 y = 3.060


sumber : http://www.rumusmatematikadasar.com
Home
Back

Cara Mudah Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) SMA

Cara Mudah Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) SMA

Sama halnya seperti prinsip penyelesaian persamaan yang lain, pertama-tama kita harus mengurangkan (mengeliminasi) 2 persamaan untuk memperoleh persamaan baru dengan menghilangkan 1 buah variabel. Kalian langung saja simak contohnya sebagai berikut:

Contoh Soal:

Tentukan himpunan penyelesaian x, y dan z dari persamaan berikut!

3x -   y + 2z = 15   ........(i)
2x +  y +   z = 13  ........(ii)
3x + 2y +  2z = 24   .......(iii)

Penyelesaian:

Gunakan metode eliminasi terhadap 2 persamaan terlebih dahulu:

3x - y + 2z = 15   | X 1  →   3x  - y + 2z =  15
2x + y +  z = 13   | X 2  →   4x + 2y + 2z = 26
                            ____________________ -
                                          -x - 3y = -11  ..........(iv)

2x +   y +  z  = 13  | X 2  →  4x + 2y + 2z = 26
3x + 2y + 2z = 24  | X 1 →   3x + 2y + 2z = 24
                            ________________________ -
                                                          x = 2.......(v)

Karena dari persamaan (v) kita sudah mendapatkan nilai x, sekarang tinggal gunakan metode substitusi terhadap persamaan (iv)
  -x - 3y = -11
  -(2) - 3y = -11
          3y  = -11 + 2
         3y  = 9
           y  = 3

Sekarang kita sudah mendapat nilai y. Langsung saja subtitusikan nilai x dan y pada salah satu persamaan i, ii, atau iii untuk mengetahui nilai z:

2x +  y +   z = 13
2(2) + 3 + z  = 13
    4 + 3 + z  = 13
          7 + z  = 13
                 z  = 13 - 7
                 z  = 6

Maka himpunan penyelesaian dari ketiga persamaan tersebut adalah {2; 3; 6}



sumber : http://www.rumusmatematikadasar.com
Home
Back

Pembahasan Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

Pembahasan Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers


Fungsi Komposisi 
Dari dua jenis fungsi f(x) dan g(x) kita dapat membentuk sebuah fungsi baru dengan menggunakan sistem operasi komposisi. operasi komposisi biasa dilambangkan dengan "o" (komposisi/bundaran). fungsi baru yang dapat kita bentuk dari f(x) dan g(x) adalah:

(g o f)(x) artinya f dimasukkan ke g
(f o g)(x) artinya g dimasukkan ke f


Contoh Soal 1:
Diketahui f(x) = 3x - 4 dan g(x) = 2x, maka tentukanlah rumus (f o g)(x) dan (g o f)(x) ...

Jawab:
(f o g)(x) = g dimasukkan ke f menggantikan x
(f o g)(x) = 3(2x)-4
(f o g)(x) = 6x - 4

(g o f)(x) = f dimasukkan ke g menggantikan x
(g o f)(x) = 2(3x-4)
(g o f)(x) = 6x-8


Syarat Fungsi Komposisi

Contoh Soal 2
Misal fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut :
f : {(-1,4), (1,6), (3,3), (5,5)}
g : {(4,5), (5,1), (6,-1), (7,3)}
Tentukan :
a.    f o g                                     d.  (f o g) (2)
b.    g o f                                     e.  (g o f) (1)
c.    (f o g) (4)                             f.  (g o f) (4)

Jawab :
Pasangan terurut dari fungsi f dan g dapat digambarkan dengan diagram panah berikut ini
a.    (f o g) = {(4,5), (5,6), (6,4), (7,3)}


b.    (g o f) = {(-1,5), (1,-1), (3,3), (5,1)}


c.    (f o g) (4) = 5
d.    (f o g) (2) tidak didefinisikan
e.    (g o f) (1) = -1

Sifat-sifat Fungsi Komposisi
Fungsi komposisi memiliki beberapa sifat, diantaranya:

Tidak Komutatif
(g o f)(x) = (f o g)(x)

Asosiatif
(f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)]

Fungsi Identitas I(x) = x
(f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)


Cara Menentukan fungsi bila  fungsi komposisi dan fungsi yang lain diketahui 
Misalkan jika fungsi f dan fungsi komposisi (f o g) atau (g o f) telah diketahui maka kita dapat menentukan fungsi g. demikian juga sebaliknya.

Contoh Soal 3
Misal fungsi komposisi (f o g) (x) = -4x + 4 dan f (x) = 2x + 2.
Tentukan fungsi g (x).
Jawab :
   (f o g) (x)          = -4x + 4
      f (g (x))           = -4x + 4
2 (g (x)) + 2         = -4x + 4
        2 g (x)           = -4x + 2
           g (x)           =  -4x + 2
                                      2
           g (x)            = -2x + 1
Jadi fungsi g (x) = -2x + 1


Fungsi Invers
Apabila fungsi dari himpunan A ke B dinyatakan dengan f, maka invers dari fungsi f merupakan sebuah relasi dari himpunan A ke B. Sehingga, fungsi invers dari f : A -> B adalah f-1: B -> A. dapat disimpulkan bahwa daerah hasil dari f-1 (x) merupakan daerah asal bagi f(x) begitupun sebaliknya.

Cara menenukan fungsi invers bila fungsi f(x) telah diketahui:

Pertama
Ubah persamaan y =  f (x) menjadi bentuk x sebagai fungsi dari y

Kedua
Hasil perubahan bentuk x sebagai fungsi y itu dinamakan sebagai f-1(y)

Ketiga
Ubah y menjadi x [f-1(y) menjadi f-1(x)]


Contoh Soal:



sumber : http://www.rumusmatematikadasar.com
Home
Back

Contoh Soal dan Penyelesaian Model Matematika Dari Suatu Program Linear

Contoh Soal dan Penyelesaian Model Matematika Dari Suatu Program Linear

Contoh Soal 1:
Sebuah pabrik memproduksi dua jenis barang K dan L dengan menggunakan dua buah mesin yaitu G1 dan G2. Untuk memproduksi barang K, mesin G1 harus beroperasi selama 3 menit dan mesin G2 selama 6 menit. Sedangkan untuk memproduksi barang L, mesin G1 harus beroperasi selama 9 menit dan mesin G2 beroperasi selama 6 menit. Mesin G1 dan G2 hanya bisa beroperasi tidak lebih dari 9 jam dalam sehari. Keuntungan bersih yang didapat untuk tiap barang K adalah Rp.350 dan untuk tiap barang L adalah Rp.700. 

Cobalah untuk membuat model matematika dari masalah program linear tersebut, apabila diharapkan keuntungan bersih yang sebesar-besarnya.

Penqelesaian:
Keterangan pada soal diatas dapat dituliskan dalam tabel seperti berikut ini:


Barang K
Barang L
Operasi tiap hari
Mesin G1
3 Menit
9 Menit
540 Menit
Mesin G2
6 Menit
6 Menit
540 Menit
Keuntungan
Rp. 350
Rp. 700


Kita misalkan Barang K diproduksi sebanyak p buah dan barang L diproduksi sebanyak buah, maka:

Waktu operasi yang dibutuhkan untuk mesin G1 = 3p + 9q
Waktu operasi yang dibutuhkan untuk mesin G2 = 6p + 6q

Dikarenakan  mesin G1 dan G2 Tidak boleh beroperasi lebih dari 9 jam = 540 menit setiap harinya, maka harus dipenuhi pertidaksamaan berikut ini:

3p + 9q ≤ 540 -> p + 4q ≤ 180
6p + 6q ≤ 540 -> p + q ≤ 90

Perlu diingat bahwa p dan q mewakili banyaknya barang, maka pdan q tidak mungkin bernilai negatif dan nilainya pun harus merupakan bilangan cacah. Sehingga, p dan q harus memenuhi pertidaksamaan di bawah ini:

p ≥ 0, q ≥ 0, dan p dan q ε C

Keuntungan bersih yang di dapat dalam Rupiah = 350p + 700q, dan diharapkan keuntungan bersih tersebut adalah sebesar-besarnya. Jadi model matematika yang dapat dibentuk berdasarkan persoalan di atas adalah:

p ≥ 0, q ≥ 0, p + 4q ≤ 180, dan p + q ≤ 90; p dan q ε C

Dengan bentuk (350p + 700q) sebesar-besarnya.



Contoh Soal 2:
Sebuah pabrik farmasi menyediakan dua jenis campuran L dan M. bahan-bahan dasar yang terkandung dalam setiap Kilogram campuran L dan M dapat dilihat pada tabel berikut ini:



Bahan 1
Bahan 2
Campuran L
0,4 Kg
0,6 Kg
Campuran M
0,8 Kg
0,2 Kg

Dari campuran L dan M tersebut akan dibuat campuran N. Campuran N tersebut sekurang-kurangnya mengandung bahan 1 sebanyak 4 Kg dan bahan 2 sebanyak 3Kg. Harga setiap Kilogram campuran L adalah Rp. 30.000 dan setiap campuran M adalah Rp. 15.000.

Tentukanlah model matematika dari persamaan di atas jika biaya total untuk membuat campuran N diharapkan bisa semurah-murahnya.

Penyelesaian:
Misalkan campuran N dibuat dari x Kg campuran L dan y Kg campuran M,
Bahan 1 yang terkandung = 0,4x + 0,8y
Karena sekurang-kurangnya mengandung bahan 1 sebanyak 4 Kg, maka harus dipenuhi pertidaksamaan berikut ini:

0,4x + 0,8y ≥ 4 Kg -> x + 2y ≥ 10

Bahan 2 yang terkandung = 0,6x + 0,2y
Karena sekurang-kurangnya mengandung bahan 2 sebanyak 3 Kg, maka harus dipenuhi pertidaksamaan berikut ini:

0,6x + 0,2y ≥ 3 Kg -> 3x + y ≥ 15

Diketahui bahwa x dan y menyatakan jumlah berat campuran sehingga nilainya tidaklah mungkin negative dan harus dinyatakan dalam bentuk bilangan real. Maka dari itu, x dan y diharuskan memenuhi pertidak samaan di bawah ini:

x ≥ 0, y ≥ 0, x dan y ε R

Total biaya yang diperlukan untuk membuat campuran N = 30000x + 15000y dengan biaya total yang diharapkan bisa semurah-murahnya. Maka model matematikanya adalah:

x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≥ 10, dan 3x + y ≥ 15; x dan y ε R

Dengan bentuk (30000x + 15000y) sekecil-kecilnya.


sumber : http://www.rumusmatematikadasar.com
Home
Back

Pengertian Program Linear dan Model Matematika SMA Kelas 11

Pengertian Program Linear dan Model Matematika SMA Kelas 11

Contoh 1 :
Mas Bejo membeli 6 buku tulis dan 8 pensil di suatu toko buku. Untuk itu Mas Bejo harus membayar Rp.6.900. Sedangkan Bang Jarwo hanya membeli 1 buah buku tulis dan 1 buah pensil dengan harga Rp.1.050. apabila harga dari sebuah buku rupiah dan sebuah pensil dinyatakan dengan x dan y, buatlah model matematika dari permasalahan tersebut!

Jawab:
Berdasarkan jumlah uang yang dibayar oleh Mas Bejo, didapat hubungan:

6x + 8y = 6.900

Berdasarkan jumlah uang yang dibayar oleh Bang Jarwo, didapat hubungan:

x+ y = 1.050

Maka model matematikanya adalah:

 6x + 8y = 6.900 dan
   x +   y = 1.050 dengan x dan y ε C

Contoh 2:
Seorang siswa memilih jurusan IPA, jika memenuhi syarat-syarat sebagai berikut:

a.) Jumlah nilai Matematika dan Fisika tidak boleh kurang dari 12
b.) Nilai masing-masing pada pelajaran tersebut tidak boleh kurang dari 5

Buatlah model matematika yang bisa digunakan sebagai patokan agar seorang siswa bisa memilih jurusan IPA!

Jawab:
Kita misalkan nilai matematika = dan nilai fisika = , maka dari syarat a.) diperoleh hubungan:

x + y ≥ 12

Dan dari syarat b.) diperoleh hubungan:

x ≥ 5 dan y ≥ 5

maka, model matematika yang dapat digunakan untuk patokan agar seorang siswa bisa memilih jurusan IPA adalah:

x ≥ 5 dan y ≥ 5, dan  x + y ≥ 12 ε C

Contoh 3:
Sebuah lahan parker hanya dapat menampung 200 mobil sedan. Apabila tempat tersebut digunakan untuk memarkir Bis, maka 1 Bis akan menempati luas yang sama dengan 5 buah mobil sedan. Apabila di lahan tersebut diparkir x Bis dan y Sedan, tentukanlah model matematikanya!

Jawab:
Misalkan untuk memarkir sebuah mobil sedan diperlukan luas rata-rata L m2, maka luas lahan parker yang tersedia adalah 200L m2 (L > 0).

Untuk memarkir sebuah Bis diperlukan lahan seluas 5L m, Sehingga untuk memarkir x Bis dan y Sedan diperoleh hubungan:

(5L)x + (L)y ≤ 200
5x + y ≤ 200

Karena banyajnya mobil Bis dan Sedan tidak mungkin negatif, sehingga:

x ≥ 0 dan y ≥ 0

sehingga model matematika untuk persoalan di atas adalah:

x ≥ 0 , y ≥ 0 dan 5x + y ≤ 200, dengan x dan y


sumber : http://www.rumusmatematikadasar.com
Home
Back

Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Kelas X SMA

Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Kelas X SMA


Pertidaksamaan linear dapat diartikan sebagai sebuah pertidaksamaan dimana peubah bebasnya memiliki bentuk linear (berpangkat satu). coba kalian ingat lagi bentuk-bentuk pertidaksamaan berikut ini:


3x = 6 (pertidaksamaan linear dengan satu peubah)

2x + y < 0 (Pertidaksamaan linear dengan dua peubah)

2x + 3y - 4z >0 (Pertidaksamaan linear dengan tiga peubah)

Pda postingan ini saya akan membatasi penjelasan hanya pada pertidaksamaan linear dua peubah. Gabungan dari dua atau lebih pertidaksamaan linear dengan dua peubah dapat disebut sebagai pertidaksamaan linear dua variabel. Contoh dari sistem persamaan linear dua variabel adalah:

2x + 4y ≥ 16
x + y ≥ 8
x ≥ 0
y ≥ 0

Himpunan dan Daerah Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Berikut ini adalah cara yang dapat dilakukan untuk menentukan himpunan ataupun daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan dua variabel: ax + by ≤  c

Pertama, buatlah garis ax + by = c dengan cara menentukan dua titik yang berbeda pada garis tersebut di dalam diagram cartesius. Diagram kartesius nantinya akan terbagi menjadi dua bagian yang dipisahkan oleh garis itu.

Kedua, Lakukan subtitusi terhadap sebuah titik pada salah satu bagian ke dalam sistem pertidaksamaan tersebut. Jikalau hasilnya merupakan pernyataan yang benar, artinya daerah tersebut merupakan penyelesaiannya, akan tetapi bila pernyataanya salah maka bagian lain lah yang menjadi penyelesaiaanya.

Ketiga, arsirlah pada bagian yang menjadi daerah penyelesaian.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini:

Contoh Soal 1
Coba tentukanlah daerah penyelesaian yang memenuhi sistem pertidaksamaan 2x + 3y ≤ 12

Jawab :
Gambar garis 2x + 3y ≤ 12, pilih dua titik
Apabila x = 0 maka :
2.0 + 3y = 12
3y = 12

y = 4 titik (0,4)

Apabila y = 0 maka:
2x + 3.0 = 12
2x = 12

x = 6 titik (6,0)

Pertama, pilihlah titik (0,0) kemudian subtitusikan titik tersebut ke dalam pertidaksamaan 2x + 3y ≤ 12. dari perhitungan di atas diketahui hasilnya adalah 2 x 0 + 3 x 0 ≤ 12 atau 0≤ 12 sehingga pernyataannya bisa dianggap benar. Sehingga dapat disimpulkan bahwa daerah penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut berada pada daerah yang ada di bawah garis sampai kepada garis yang menjadi batas 2x + 3y = 12. Sehingga gambarnya menjadi:



sumber : http://www.rumusmatematikadasar.com
Home
Back

Rumus Teorema Pythagoras pada Bangun Datar, Contoh Soal dan Pembahasannya

Rumus Teorema Pythagoras pada Bangun Datar, Contoh Soal dan Pembahasannya

Mencari diagonal bidang pada persegi dan persegi panjang
Kita bisa menggunakan rumus teorema pythagoras untuk mencari bidang diagonal pada persegi panjang apabila kita telah mengetahui panjang dan lebarnya. Sementara rumus pythagoras bisa kita gunakan untuk mencari bidang diagonal pada persegi apabila panjang sisinya telah diketahui. Untuk lebih jelasnya, simak contoh soal di bawah ini:

Contoh Soal 1
Diketahui sebuah persegi panjang memiliki panjang 20 cm dan lebar 15 cm. maka berapakah panjang salah satu diagonal pada persegi panjang tersebut?

Pembahasan:
Diagonal = √(panjang2 + lebar2)
Diagonal = √(202 + 152)
Diagonal = √400 + 225
Diagonal = √625
Diagonal = 25 cm

Mencari diagonal layang-layang dan belah ketupat
Rumus Pythagoras dapat kita gunakan untuk mencari salah satu diagonal pada layang-layang dan belah ketupat apabila telah diketahui panjang sisi dan salah satu diagonal sisinya. Coba perhatikan kedua contoh soal berikut:

Contoh Soal 2

Hitunglah luas dari bangun layang-layang di bawah ini:


Pembahasan:
Karena diagonal EG dan FH berpotongan di titik M, maka kita cari dulu panjang EM:

EM = ½ x EG
EM = ½ x 16
EM = 8 cm

Setelah itu, gunakan teorema pythagoras untuk mengetahui panjang FM dan HM:

FM = √(EF2 – EM2)
FM = √(152 - 82)
FM = √(225 - 64)
FM = √161
FM = 12,6 cm

HM = √(EH2 – EM2)
HM = √(202 – 82)
HM = √(400 – 64)
HM = √336
HM = 18,3 cm

Panjang diagonal FH adalah:

FH = FM + HM
FH = 12,6 + 18,3
FH = 30,9 cm


Sekarang kita cari luas dari layang-layang tersebut:
L = ½ x d1 x d2
L = ½ x EG x FH
L = ½ x 16 x 30,9
L = ½ x 494,4
L = 247,2 cm2


Contoh Soal 3
Perhatikan gambar belah ketupat berikut ini:


Apabila diketahui panjang sisi belah ketupat PQRS adalah 15 cm dan panjang salah satu diagonalnya adalah 24 cm, Maka berapakah luas dari belah ketupat tersebut?

Pembahasan:
Apabila perpotongan diagonal PR dan QS pada belah ketupat itu ada pada titik X, maka:
PX = ½ x PR
PX = ½  x 24
PX = 12 cm

Sekarang kita gunakan rumus teorema pythagoras untuk mengetahui panjang QX:
QX = √(PQ2 - PX2)
QX = √(152 - 122)
QX = √(225 - 144)
QX = √81
QX = 9 cm

QS = 2 x QX
QS = 2 x 9
QS = 18 cm

Sekarang tinggal menghitung luas belah ketupat tersebut:
L = ½ x d1 x d2
L = ½ x 24 x 18
L = ½ x 432
L = 216 cm2


Mencari tinggi trapesium dan jajar genjang
Untuk mengetahui bagaimana cara menggunakan rumus teorema pythagoras dalam mencari tinggi dari bangun datar trapesium ataupun jajar genjang, kalian bisa menyimaknya dalam contoh soal berikut ini:

Contoh Soal 4
Amatilah gambar trapesium berikut ini:


Apabila diketahui panjang sisi PR = 40 cm, RS = 40 cm, dan PQ= 64 cm. Berapakah luas dari trapesium di atas?

Pembahasan:
Kalian bisa lihat bahwa trapesium tersebut merupakan trapesium sama kaki maka kita bisa ketahui bahwa panjang PR = QS, panjang PT= UQ dan panjang RS = TU, sehingga:

Panjang PT = PQ – TU – UQ
Panjang PT = 64 cm – 40 cm – UQ

Karena UQ = PT, maka:

2 x PT= 24 cm
PT = 12 cm

Sekarang kita bisa mencari tinggi trapesium dengan menggunakan teorema pythagoras seperti berikut ini:

RT = √(PR2– PT2)
RT = √(402 – 122)
RT = √(1600 – 144)
RT = √1456
RT = 38,15 cm

Sekarang kita bisa mencari luas trapesium dengan rumus berikut:

L = ½ x jumlah sisi sejajar x tinggi
L = ½ x (PQ + RS ) x RT
L = ½ x (64 cm + 40 cm) x 38,15 cm
L = ½ x 3967,6
L = 1983,8 cm2


Contoh Soal 5
Hitunglah luas jajar genjang berikut ini:


Pembahasan:
Pertama-tama, kita cari dahulu panjang PT:
PQ = RS
PT + TQ = RS
PT = RS - TQ
PT = 30 - 25
PT = 5 cm

Kemudian kita cari tinggi dari jajar genjang di atas:

ST = √(PS2  – PT2)
ST = √(232 – 52)
ST = √(529 – 25)
ST = √504
ST = 22,4 cm

Barulah bisa kita cari luas dari jajar genjang tersebut:
L = a x t
L = PQ x ST
L = 30 cm x 22,4 cm
L = 673,4 cm2

sumber : http://www.rumusmatematikadasar.com
Home
Back

Pengertian Transpose Matriks, Sifat-sifatnya serta Contoh Soal dan Pembahasan

Pengertian Transpose Matriks, Sifat-sifatnya serta Contoh Soal dan Pembahasan

Sifat-sifat Matriks Transpose
Transpose matriks memiliki beberapa sifat yang menjadi dasar di dalam operasi perhitungan matriks, yaitu:

(A + B)T = AT + BT
(AT)T = A
λ(AT) = (λAT), bila λ suatu scalar
(AB)T = BT AT


Contoh Soal dan Pembahasan Transpose Matriks
Berikut adalah salah satu contoh soal tentang transpose matriks dan pembahasan mengenai cara menjawab dan menyelesaikannya:



sumber : http://www.rumusmatematikadasar.com
Home
Back

Persamaan Nilai Mutlak dan Cara Penyelesaiannya

Persamaan Nilai Mutlak dan Cara Penyelesaiannya

Contoh Soal 1

Selesaikanlah persamaan -3|x-4|+5 = 14

Cara Menyelesaikannya:

Pertama-tama kita harus mengisolasi nilai mutlak caranya adalah dengan memisahkan nilai mutlak agar berada pada satu ruas, sementara suku yang lain kita pindahkan menuju ruas yang lain.

-3|x-4|+5 = 14
-3|x-4|= 14 - 5
-3|x-4|= 9
  |x-4|= -3

Pada persamaan nilai mutlak x-4 adalah "X" sehingga kita bisa menyimpulkan bahwa:

x-4 = 3 atau x-4 = -3

sehingga

x = 7 atau x = 1

maka himpunan penyelesaian dari persamaan di atas adalah {7,1}

Contoh Soal 2


Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan |4 - 2/5 x|-7 = 13

Cara Menyelesaikannya:


|4 - 2/5 x|-7 = 13
|4 - 2/5 x|= 13 + 7
|4 - 2/5 x|= 20

maka

|4 - 2/5 x|= 20 atau |4 - 2/5 x|= -20

sehingga

- 2/5 x = 16 atau -2/5 x = -24

x = -40 atau x = 60

Maka himpunan penyelesaiannya adalah {-40,60}


sumber : http://www.rumusmatematikadasar.com
Home
Back

Penjelasan Sifat-sifat Bilangan Pangkat Bulat Positif SMA Kelas X

Penjelasan Sifat-sifat Bilangan Pangkat Bulat Positif SMA Kelas X

Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat Positif


Untuk bisa mengerti dan memahami sifat perkalian dari bilangan berpangkat bilangan bulat positif, coba perhatikan operasi hitung di bawah ini:

4x 45 = (4 x 4 x 4 x 4) x (4 x 4 x 4 x 4 x 4)
4x 45 = 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4
4x 45 = 49

Maka dapat disimpulkan bahwa:

4x 45 = 44+5

Penjelasan perhitungan di atas sesuai dengan sifat:

am × a= am+n

Dimana a merupakan bilangan rasional, sedangkan m dan nmerupakan bilangan bulat positif.

Sifat perkalian di atas akan lebih mudah dimengerti dengan mengamati contoh soal dan pembahasannya berikut ini:

Contoh Soal 1
Tentukan hasil perkalian dari bilangan berpangkat di bawah ini dengan menggunakan sifat perkalian bilangan berpangkat bulat positif:
a. 3x 32
b. (-4)3 x (-4)2
c. 53 x 64
d. 7yx y3


Pembahasan soal:

a. 3x 32 = 35+2
    3x 3= 37 = 2187

b. (-4)3 x (-4)= (-4)3+2
       (-4)3 x (-4)2 = (-4)5 = -1024

c. Karena bilangan pokoknya berbeda (5 dan 6), kita tidak bisa menyederhanakan perkalian ini      dengan   sifat perkalian bilangan berpangkat:
    53 x 64 = 125 x 1296 = 162000

d. 7yx y3 = 7y2+3
    7yx y= 7y5


Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat Positif

Sama halnya dengan sifat perkalian, pada sifat pembagian bilangan berpangkat positif kita juga harus memperhatikan dan mengamati konsep dasarnya terlebih dahulu:

45/4= (4 x 4 x 4 x 4 x 4) / (4 x 4)
45/4= 4 x 4 x 4
45/4= 43
45/4= 45-2

Maka dapat disimpulkan bahwa:

45/4= 45-2

Konsep perhitungan tersebut sesuai dengan sifat:

 am/a= am-n

Dimana a merupakan bilangan rasional yang tidak sama dengan 0 sedangkan m dan n merupakan bilangan bulat positif dengan syarat lebih besar daripada n .

Berikut adalah penjelasan contoh soal tentang sifat di atas:

Contoh Soal 2
Tentukan hasil pembagian dari bilangan berpangkat di bawah ini dengan menggunakan sifat pembagian bilangan berpangkat bulat positif:

a. 28/23
b. -37/-35
c. 3q6/q3


Pembahasan Soal:

a. 28/23
    28/23 = 28-3
    28/23 = 25 = 32

b. -37/-35
      -37/-35 = -37-5
      -37/-35 = -32 = 9

c. 3q6/q3
      3q6/q3 = 3q6-3
    3q6/q= 3q3


sumber : http://www.rumusmatematikadasar.com
Home
Back

Materi Ruang Dimensi Tiga Matematika SMA Kelas X

Materi Ruang Dimensi Tiga Matematika SMA Kelas X

Garis tegak lurus bidang
Merupakan sebuah garis yang posisinya tegak lurus pada suatu bidang dimana garis tersebut tegak lurus terhadap setiap garis yang ada pada bidang tersebut.


Jarak titik dan garis
Jarak titik A dengan garis G merupakan panjang ruas dari garis AA' dimana titik A' merupakan proyeksi dari A pada g.


Jarak titik dan bidang
Jarak antara titik A dan bidang merupakan panjang dari ruas garis AA' dimana titik A' adalah proyeksi dari titik A pada bidang.


Jarak antara dua garis sejajar
Untuk mengetahui jarak antara dua garis sejajar, kita harus menggambar sebuah garis lurus diantara keduanya. Jarak titik potong yang dihasilkan merupakan jarak dari kedua garis itu.


Jarak garis dan bidang yang sejajar
Untuk menentukan jarak antara garis dan bidang adalah dengan membuat proyeksi garis pada bidang. Jarak antara garis dengan bayangannya adalah jarak garis terhadap bidang.


Jarak antar titik sudut pada kubus
Jarak antar titik sudut pada kubus dapat diketahui melalui rumus:



sumber : http://www.rumusmatematikadasar.com
Home
Back

Materi Pengertian dan Jenis-jenis Matriks Matematika Lengkap

Materi Pengertian dan Jenis-jenis Matriks Matematika Lengkap

Matriks Persegi
Merupakan matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama, misalnya 4x4, 2x2, atau 5x5. Sehingga ordonya dilambangkan n x n.

Matriks Baris
Adalah matriks yang hanya memiliki satu buah baris namun memiliki beberapa kolom. Matriks ini ordonya adalah 1 x n dimana n harus lebih besar dari 1. Contohnya 1 x 2, 1 x 4, 1 x 6, dsb.

Matriks kolom
Merupakan kebalikan dari matriks baris. Hanya terdiri dari satu kolom namun memiliki beberapa baris. Ordo dari matriks ini adalah n x 1 dimana n harus lebih besar dari 1. Contohnya adalah 2 x 1, 3 x 1, 5 x 1, dsb.


Matriks Mendatar
Adalah matriks yang memiliki jumlah kolom yang lebih banyak dibandingkan jumlah barisnya. Contohnya adalah 3 x 5, 4 x 6, dsb.

Matriks Tegak
Merupakan kebalikan dari matriks mendatar dimana jumlah barisnya lebih banyak dibandingkan jumlah kolomnya. Contohnya adalah 6 x 3, 4 x 2, 8 x 5, dsb.


Jenis Matriks Berdasarkan pada Pola Elemennya

Matriks Nol
Merupakan matriks dengan ordo m x n dimana seluruh elemennya memiliki nilai nol.

Matriks Diagonal
Merupakan matriks persegi yang elemennya bernilai nol kecuali pada diagonal utamanya.

Matriks Identitas
Adalah matriks yang diagonal utamanya di isi dengan elemen bernilai 1 sementara elemen yang lain nilainya adalah nol.


Matriks Segitiga Atas
Adalah matriks yang keseluruhan nilai dibawah diagonal utamanya adalah nol.

Matriks Segitiga Bawah
Merupakan kebalikan dari matriks segitiga atas dimana seluruh elemen yang ada di atas diagonal utamanya bernilai nol.

Matriks Simetris
Merupakan sebuah matriks dimana elemen yang ada di atas dan dibawah doagonal utamanya memiliki susunan nilai yang sama.

Matriks Skalar
Adalah matriks yang memiliki elemen diagonal utama bernilai sama sementara elemen yang lain nilainya adalah nol.



sumber : http://www.rumusmatematikadasar.com
Home
Back

Materi Barisan dan Deret Aritmatika Terlengkap

Materi Barisan dan Deret Aritmatika Terlengkap

Pengertian Barisan Aritmatika

Sebelum memahami pengertian barisan aritmatika kita harus mengetahui terlebih dahulumengenai pengertian basiran bilangan. Barisan bilangan merupakan sebuah urutan dari bilangan yang dibentuk dengan berdasarkan kepada aturan-aturan tertentu. Edangkan barisan aritmetika dapat didefinisikan sebagai suatu barisan bilangan yang tiap-tiap pasangan suku yang berurutan mengandung nilai selisih yang sama persis, contohnya adalah barisan bilangan: 2, 4 , 6, 8, 10, 12, 14, ...

Barisan bilangan tersebut dapat disebut sebagai barisana aritmatika karena masing-masing suku memiliki selisih yang sama yaitu 2. Nilai selisih yang muncul pada barisan aritmatika biasa dilambangkan dengan menggunakan huruf b. Setiap bilangan yang membentuk urutan suatu barisan aritmatika disebut dengan suku. Suku ke n dari sebuah barisan aritmatika dapat disimbolkan dengan lambang Unjadi untuk menuliskan suku ke 3 dari sebuah barisan kita dapat menulis U3. Namun, ada pengecualian khusus untuk suku pertama di dalam sebuah barisan bilangan, suku pertama disimbolkan dengan menggunakan huruf a.

Maka, secara umum suatu barian aritmatika memiliki bentuk :

U1,U2,U3,U4,U5,...Un-1
a, atb, a+2b, a+3b, a+4b,...a+(n-1)b


Cara Menentukan Rumus suku ke-n dari Sebuah Barisan
Pada barisan aritmatika, mencaru rumus suku ke-n menjadi lebih mudah karena memiliki nilai selisih yang sama, sehingga rumusnya adalah:

U2 = a + b
U3 = u2 + b = (a + b)  + b = a + 2b
U4 = u3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b
U5 = u4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b
U6 = u5 + b = (a + 4b) + b = a + 5b
U7 = u6 + b = (a + 5b) + b = a + 6b
.
.
.
U68 = u67+b = (a + 66b) + b = a + 67b
U87 = u86+b = (a + 85b) + b = a + 86b

Berdasarkan kepada pola urutan diatas, maka kita dapat menyimpulkan bahwa rumus ke-n dari sebuah barisan aritmatika adalah:

Un = a + (n – 1)b dimana n merupakan bilangan asli


Pengertian Deret Aritmatika

Deret aritmatika dapat didefinisikan sebagai jumlah keseluruhan dari anggota barisan aritmatika yang dihitung secara berurutan. Sebagai contoh kita ambil sebuah barisan aritmatika 8,12,16,20,24 maka deret aritmatikanya adalah 8+12+16+20+24

Untuk menghitung deret aritmatika tersebut masih terbilang mudah kaerna jumlah sukunya masih sedikit:

8+12+16+20+24 = 80

Namun, bayangkan jika deret aritmatika tersebut terdiri dari ratusan suku, tentu akan sulit untuk menghitungnya, bukan? Oleh karenanya, kita harus mengetahui rumus untuk menghitung jumlah deret aritmatika. Rumus yang biasa digunakan adalah:

Sn = (a + Un) × n : 2

Sebelumnya kita sudah mengetahui rumus untuk menghitung Un, maka rumus tersebut dapat dimodifikasi menjadi:

Sn = (a + a + (n – 1)b) × n : 2


Sisipan pada Deret Aritmatika

Sisipan pada deret aritmatika dapat diperoleh dengan cara menambahkan deret kecil aritmatika lainnya diantara dua buah suku yang berurutan di dalam sebuah deret aritmatika. Untuk memahaminya dengan lebih mudah perhatikan saja contoh berikut ini:

Deret aritmatika awal: 2+8+14+20+26+32
Deret aritmatika setelah diberi sisipan: 2+4+6+8+10+12+14++16+18+20+22+24+26+28+30+32

Nilai selisih pada deret aritmatika yang telah diberi sisipan (b1) dapat diketahui dengan menggunakan rumus:

b1 = b/(k+1)

b1 = selisih pada deret yang telah diberi sisipan
b  = selisih pada deret aritmatika awal
k  = banyaknya bilangan yang disisipkan

sebagai contoh untuk menghitung selisih deret baru pada deret aritmatika yang telah saya tuliskan diatas adalah:

Deret awal: 2+8+14+20+26+32
Deret baru: 2+4+6+8+10+12+14++16+18+20+22+24+26+28+30+32

Rumus: b1 = b/(k+1)

Diketahui:

b = 8 – 2 = 6
k = 2

Maka:
b1 = 6/(2+1)
b1 = 6/3
b1 = 2


sumber : http://www.rumusmatematikadasar.com
Home
Back

Rumus Matematika Fungsi Eksponen dan Logaritma SMA Kelas 12

Rumus Matematika Fungsi Eksponen dan Logaritma SMA Kelas 12

Pengertian fungsi eksponen
Di dalam materi pelajaran matematika kelas 10 tentu kalian telah mempelajari konsep eksponen bentuk bilangan bulat. Sebelum mempelajari materi mengenai eksponen yang ada di dalam artikel ini maka sebaiknya kalian ingat kembali sifat bilangan berpangkat rasional. Apabila a dan b merupakan bilangan real, p dan q merupakan bilangan rasional makan hubungan yang berlaku adalah sebagai berikut:


Dalam materi mengenai eksponen untuk kelas 12 akan dibahas lebih mendetail mengenai perpangkatan dimana pangkatnya merupakan suatu fungsi. Bentuk perpangkatan tersebut disebut dengan fungsi eksponen.

Fungsi eksponen memiliki banyak manfaat dalam kehidupan sehari hari sebagai contoh fungsi ini digunakan dalam proses peluruhan radioactive, proses pertumbuhan tanaman, serta konsep perhitungan bunga tabungan yang ada di bank dan masih banyak lagi contoh lainnya.

Persamaan fungsi eksponen dan penerapannya



sumber : http://www.rumusmatematikadasar.com
Home
Back

Penjelasan Perbedaan Permutasi dan Kombinasi Matematika, Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap

Penjelasan Perbedaan Permutasi dan Kombinasi Matematika

Permutasi

Di dalam ilmu matematika permutasi diartikan sebagai sebuah konsep penyusunan sekumpulan objek/angka menjadi beberapa urutan berbeda tanpa mengalami pengulangan.

Di dalam permutasi, urutan sangat diperhatikan. setiap objek yang dihasilkan harus berbeda antara satu dengan yang lain. kita ambil contoh, urutan huruf ({ABC} berbeda dengan {CAB} begitu juga dengan {BAC) dan {ACB}). Rumus untuk mencari banyaknya permutasi n unsur jika disusun pada unsur k di mana k ≤ n adalah:

Rumus Permutasi

P(n,k) =   n!  
     (n-k)!


Untuk memahami rumus tersebut, perhatikan pembahasan soal di bawah ini:


Contoh Soal 1
Di sebuah sekolah ada 4 orang guru yang dicalonkan untuk mengisi posisi bendahara dan sekertaris. Coba kalian tentukan banyaknya cara yang dapat digunakan untuk mengisi posisi tersebut!

Pembahasan:
Soal di atas dapat dituliskan sebagai permutasi P(4,2), n(banyaknya guru) = 4 k (jumlah posisi) = 2
masukkan ke dalam rumus:

P(4,2) =   4!     = 4 x 3 x 2 x 1 24 = 12
 (4-2)!           2 x 1             2


Contoh Soal 2
Berapakah banyaknya bilangan yang dibentuk dari 2 angka berbeda yang dapat kita susun dari urutan angka 4, 8, 2, 3, dan 5?

Pembahasan:
pertanyaan di atas dapat disimpulkan sebagai permutasi yang terdiri dari 2 unsur yang dipilih dari 5 unsur maka dapat dituliskan sebagai P(5,2). tinggal kita masukkan ke dalam rumus.

P(5,2) =   5!     = 5x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 = 20
              (5-2)!        3 x 2 x 1              6

Maka ada 20 cara yang dapat dilakukan untuk menysyn bilangan tersebut menjadi 2 angka yang berbeda-beda (48, 42, 43, 45, 84, 82, 83, 85, 24, 28, 23, 25, 34, 38, 32, 35, 54, 58, 53, 52).


Kombinasi

kombinasi merupakan sebuah kumpulan dari sebagian atau seluruh objek dengan tidak memperhatikan urutannya. di dalam kombinasi, {AB} dianggap sama dengan {BA} sehingga sebuah kombinasi dari dua objek yang sama tidak dapat terulang.

Rumus kombinasi dari suatu himpunan yang mempunyai n elemen dapat dituliskan sebagai berikut:

Rumus Kombinasi

C(n,r) = nCr = nCr =     n!     
                                  r!(n-r)!

Mari kita amati penggunaan rumus tersebut untuk menyelesaikan soal-soal di bawah ini:


Contoh Soal 3
Manuel Pelegrini membawa 16 pemain saat Manchester City melawan Liverpool di Etihad Stadium. 11 orang diantaranya akan dipilih untuk bermain pada babak pertama. jika kita tidak memperhatikan posisi pemain, berapakah banyaknya cara yang dapat diambil oleh pelatih untuk memilih pemain?

Pembahasan:
Karena tidak mementingkan posisi pemain, maka kita gunakan rumus kombinasi:
16C11       16!        =  16 x 15 x 14 x 13 x 12 x 11!  
              11!(16-11)!                      11!5!                          

         524160         =  524160  = 4368
     5 x 4 x 3 x 2 x 1          120


Contoh Soal 4

Sebuah ember berisi 1 buah alpukat, 1 buah pir, 1 buah jeruk dan 1 buah salak. berapakah banyaknya kombinasi yang tersusun dari 3 macam buah?

Pembahasan:
diketahui n = 4 dan r = 3, maka:

4C      4!        =  4 x 3 x 2 x 1  =      24         =  24  = 4
              3!(4-3)!           3!1!              3 x 2 x 1         6



sumber : http://www.rumusmatematikadasar.com
Home
Back

Memahami Rumus Segitiga Pascal dalam Matematika

Memahami Rumus Segitiga Pascal dalam Matematika

Bilangan-bilangan yang ada pada setiap baris segitiga pascal menunjuhkan koefisien yang berupapenyederhanaan bentuk dari (a + b)n.

Apabila kita menjabarkan bentuk (a + b)n tersebut, maka akan terlihat bahwakoefisien yang diperoleh dari bentuk tersebut sama persis dengan tiap-tiap bilangan yang ada pada setiap baris dari segitiga pascal di atas. Coba perhatikan penyederhanaan berikut ini:

1. (a + b)1 = a + b   à koefisiennya adalah 1 dan 1
2. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2    à koefisiennya adalah 1, 2, dan 1
3. (a + b)3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2)
                 = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3
                 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3  à koefisiennya adalah  1, 3, 3, dan 1


Jika kita perhatikan, pola bilangan tersebut sebenarnya adalah koefisien dari expansi pangkat binomial, coba kalian perhatikan contoh berikut ini:

(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4

artinya, pada i=4 diperoleh koefisien dari expansi pangkat binomial 4 yaitu 1, 4, 6, 4, dan 1 yang ternyata adalah bilangan-bilangan yang mengisi baris ke-4 pada sebuah segitiga Pascal. Sekarang coba perhatikan Teorema Binomial di bawah ini:


Dari penguraian rumus diatas, dapat disimpulkan secara umum bahwasannya barisan bilangan yang ada pada baris i=k di dalam sebuah segitiga Pascal dapat dituliskan menjadi seperti berikut ini:


Dari pola di atas juga bisa diperoleh sebuah rumus baru yang dapat digunakan untuk menentukan bilangan a i, j yang merupakan bilangan yang ada pada baris ke-i dan kolom ke-j seperti berikut ini:


Dari penjabaran rumus tersebut, kita dapat menuliskan barisan bilangan yang ada pada diagonal ke-d menjadi sebagai berikut:



sumber : http://www.rumusmatematikadasar.com
Home
Back

Cara Menggambar Grafik Fungsi Aljabar

Cara Menggambar Grafik Fungsi Aljabar

Langkah Pertama
Buatlah terlebih dahulu analisis pendahuluan yang meliputi:

Menentukan koordinat titik-titik potong kurva dengan sumbu-sumbu koordinat (jika koordinat itu mudah ditentukan).

             (i) titik potong dengan sumbu X, dengan mengambil syarat y = 0
            (ii) titik potong dengan sumbu Y, dengan mengambil syarat x = 0

Tentukan interval-interval ketika fungsi itu naik dan ketika fungsi itu turun.
Tentukan titik-titik stationer serta jenisnya : titik balik maksimum, titik balik minimum, atau titik belok horisontal.
Tentukan nilai-nilai fungsi pada ujung-ujung interval. Jika kurva itu akan digambarkan untuk semua bilangan real, maka perlu ditantukan nilai-nilai y untuk nilai x yang besar positif dan untuk nilai x yang besar negatif.
Tentukanlah beberapa titik tertentu untuk memperhalus sketsa kurva.


Langkah Kedua
Dari langkah pertama, titik-titik yang didapat kita sajikan dalam bidang cartesius.

Langkah Ketiga
Titik-titik yang telah disajikan dalam bidang Cartesius pada langkah kedua, kemudian kita hubungkan dengan mempertimbangkan naik atau turunnya fungsi. Dengan demikian, kita akan mendapatkan kurva y = f(x)

Agar kalian lebih mudah dan terampil dalam memahami cara menggambar kurva sukubanyak dengan persamaan y = f(x) maka sebaiknya perhatikan contoh di bawah ini:

Soal
Gambarlah sketsa kurva sukubanyak yang ditentukan dengan persamaan y = f(x) = 4x – x3

Cara Menjawabnya:

Langkah Pertama
(a) Koordinat titik-titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat.
 (i) titik potong dengan sumbu X, dengan mengambil y = 0
      4x – x3 = 0
è x(4 – x2) = 0
è x (2 + x) (2 – x) = 0
è x1 = -2 atau x2 = 0 atau x3 = 2
Titik-titik potong dengan sumbu X adalah (-2, 0) (0, 0), dan (2, 0)

                (ii) Titik potong dengan sumbu Y, dengan mengambil x = 0 diperoleh:
                      Y = 4(0) – (0)3 = 0
                Titik potong sumbu Y adalah (0, 0)

(b) Dari f(x) = 4x – x3 maka f’(x) 4 – 3x2
   
                  f(x) naik jika f’(x) > 0                     ||             f(x) turun jika f’(x) < 0
                                4 – 3x2 > 0                      ||                           4 – 3x2 < 0
è 3x2 < 4                                            ||           à 3x2 > 4
è -2/3 √3 < x < 2/3 √3                      ||           à x < -2/3 √3 atau x > 2/3 √3   

Perhatikan diagram tanda f’(x) pada gambar berikut ini:


(c) Nilai stationer dan jenisnya
               
                Nilai stationer dicapai apabila f’(x) = 0
             
                4 – 3x2 > 0
à x1 = -2/3 √3    atau   x2 = 2/3 √3

Nilai-nilai stationernya:

Untuk x1 = -2/3 √3    à f(-2/3 √3) = 4(-2/3 √3) – (-2/3 √3)3 = - 16/9 √3
       
f(-2/3 √3) = - 16/9 √3 merupakan nilai balik minimum, sebab f’(x) berubah tanda dari negatif menjadi positif ketika melewati x =-2/3 √3

Untuk x2= 2/3 √3    à f(2/3 √3) = 4(2/3 √3) – (2/3 √3)3 =  16/9 √3

f(-2/3 √3) = 16/9 √3 merupakan nilai balik maksimum, sebab f’(x) berubah tanda dari positifmenjadi negatif ketika melewati x = 2/3 √3

Jadi titik balik maksimumnya (2/3 √3), 16/9 √3) dan titik balik minimumnya (-2/3 √3), -16/9 √3)

(d) Untuk x besar maka y = f(x) = 4x – x3 dekat dengan -x3
      Jika x besar positif, maka y besar negatif
      Jika y besar negatif maka x besar positif

(e) Ambil beberapa titik tertentu untuk memperbaiki sketsa kurva.
             
                x = -3 à y = f(-3) = 4(-3) – (-3)3 = 15 à (-3, 15)
                x = -1 à y = f(-1) = 4(-1) – (-1)3 = -3 à (-1, -3)

                x = 1 à y = f(1) = 4(1) – (1)3 = 3 à (1, 3)
                x = 3 à y = f(3) = 4(3) – (3)3 = 15 à (3, 15)


Langkah Kedua
Beberapa titik yang diperoleh pada langkah pertama diletakkan pada bidang kartesius.

Langkah Ketiga
Titik-titik yang telah disajikan pada bidang kartesius itu kemudian dihubungkan untuk memperoleh sketsa kurva yang mulus seperti pada gambar dibawah ini:


Dalam hal ini perlu juga diperhatikan pula naik turunnya fungsi pada interval-interval yang telah ditentukan pada langkah 1 bagian (b)



sumber : http://www.rumusmatematikadasar.com
Home
Back

Materi Rumus Barisan dan Deret Geometri Lengkap

Materi Rumus Barisan dan Deret Geometri Lengkap

Contoh Barisan Geometri
untuk lebih memahami apa yang dimaksud dengan barisan geometri perhatikan contoh berikut:

3, 9, 27 , 81, 243, ...

barisan di atas adalah contoh barisan geometri dimana setiap suku pada barisan tersebut merupakan hasil dari perkalian suku sebelumnya dengan konstanta 3. maka bisa disimpulkan bahwa rasio pada barisan di atas adalah 3. rasio pada suatu barisan dapat dirumuskan menjadi:

r = ak+1/ak

dimana ak adalah sembarang suku dari barisan geometri yang ada. sementara ak+1 adalah suku selanjutnya setelah ak.

untuk menentukan suku ke-n dari sebuah barisan geometri, kita dapat menggunakan rumus:

Un = arn-1

dimana a merupakan suku awal dan r adalah nilai rasio dari sebuah barisan geometri.

Mari kita pelajari penggunaan rumus-rumus barisan geometri di atas dalam menyelesaikan soal:


Contoh Soal dan Pembahasan Barisan Geometri

Contoh Soal 1
Sebuah Bakteri mampu melakukan pembelahan diri menjadi 4 setiap 12 menit. berapakah jumlah bakteri yang ada setelah 1 jam apabila sebelumnya terdapat 3 buah bakteri?

Penyelesaian:
a = 3
r = 4
n = 1 jam/12 menit = 60/12 = 5

Masukkan ke dalam rumus:
Un = arn-1
U5 = 3 x 45-1
U5 = 3 x 256 = 768 bakteri


Pengertian dan Rumus deret Geometri
Deret geometri dapat diartikan sebagai jumlah dari n suku pertama pada sebuah barisan geometri. apabila suku ke-n dari suatu barisan geometri digambarkan dengan rumus: an = a1rn-1, maka deret geometrinya dapat dijabarkan menjadi:

Sn = a1 + a1r + a1r2 + a1r3 + ... + a1rn-1

Apabila kita mengalikan deret geometri di atas dengan -r, lalu kita jumlahkan hasilnya dengan deret aslinya, maka kita akan memperoleh:


Setelah diperoleh Sn - rSn = a1 - a1rn maka kita dapat mengetahui nilai dari suku n pertama dengan cara berikut ini:


Berdasarkan kepada hasil perhitungan di atas, maka dapat disimpulkan bahwa rumus jumlan n suku pertama pada sebuah barisan geometri adalah:


Perhatikan cara menggunakan rumus tersebut pada contoh soal di bawah ini:

Contoh Soal Deret Geometri

Contoh Soal 2
Tentukanlah jumlah 8 suku pertama dari barisan geometri 2, 8, 32, ...

Pembahasan:
a = 2
r = 4
n = 8

Sn = a  (1-rn) / (1-r)
Sn = 2  (1-48) / (1-4)
Sn = 2  (1-65536)/ (-3)
Sn = 2  (-65535)/ (-3)
Sn = 2 x 21845
Sn = 43690

sumber : http://www.rumusmatematikadasar.com
Home
Back

Contoh Soal Cara Mengubah Pecahan ke Bentuk Persen dan Pembahasannya

Contoh Soal Cara Mengubah Pecahan ke Bentuk Persen dan Pembahasannya

Contoh Soal 1:
Dua hari yang lalu Paman mengambil pisang setandan dari kebun miliknya,jumlah seluruh pisang adalah 120 buah dan seluruhnya masih mentah. Hari ini sebanyak 54 buah pisang telah menguning. Berapa persen buah pisang yang telah menguning?

Penyelesaian:
Diketahui : Jumlah pisang seluruhnya = 120 buah
Jumlah pisang yang telah menguning = 54 buah
Ditanya : Persentase buah pisang yang telah menguning
Jawab : 54/120 x 100% = 45%
Jadi Persentase buah pisang yang telah menguning adalah 45%


Contoh Soal 2:
Sebuah toko sedang memberikan diskon sebesar 20% untuk setiap jenis pakaian. Alda berbelanja di toko tersebut, ia membeli baju seharga Rp. 158.000,-.  Berapa rupiah potongan yang Alda dapat untuk baju yang dibelinya?

Penyelesaian:
Diketahui : Harga Baju = Rp. 158.000
Diskon = 20%
Ditanya : potongan harga dalam rupiah
Jawab : 20% x 158.000 = 20/100 x 158.000 = 31.600
Jadi potongan harga yang Alda dapatkan adalah Rp 31.600,-


Contoh Soal 3:
Sandi membeli buku seharga Rp 78.000,- di sebuah toko buku. Ketika hendak membayar ternyata ia mendapatkan potongan harga sebesar Rp 7.800,- . Berapa persen potongan harga yang diberikan toko tersebut?

Penyelesaian:
Diketahui : Harga buku = Rp. 78.000,-
Potongan harga = Rp 7.800,-
Ditanya : potongan harga dalam persen
Jawab : (7800 : 78000) x 100% = 10%
Jadi potongan harga yang diberikan toko buku adalah 10%


Contoh Soal 4:
Dikolam ikan terdapat 80 ekor ikan mas, 40 ekor ikan gurame dan 20 ekor ikan bawal. Tentukanlah presentase ikan gurame dan ikan bawal terhadap seluruh ikan di kolam tersebut.

Penyelesaian:
Diketahui : Jumlah ikan seluruhnya = 140 ekor
Jumlah ikan gurame dan ikan bawal berturut-turur = 40 ekor dan 20 ekor
Ditanya : presentase gurame dan bawal
Jawab :
Presentase ikan gurame = 40/140 x 100% = 28,57%
Presentse ikan bawal = 40/140 x 100% = 14,28%
Jadi presentase gurame dan bawal berturut –turut adalah 28,57 % dan 14,28 %

Contoh Soal 5:
Ibu membeli 60 buah Jeruk. Ternyata 15 % dari jeruk yang dibeli ibu busuk. Berapa buah jeruk yang busuk?

Penyelesaian:
Diketahui : Jumlah jeruk seluruhnya = 60 buah
Jeruk busuk = 15 %
Ditanya : jumlah jeruk yang busuk
Jawab : 15% x 60 = 15/100 x 60 = 9

Jadi jeruk yang busuk ada 9 buah


sumber : http://www.rumusmatematikadasar.com
Home
Back

Ukuran Pemusatan Data Mean, Median dan Modus

Ukuran Pemusatan Data Mean, Median dan Modus

Mean/Rataan Hitung
Yang dimaksud sebagai mean dari sekumpulan data adalah total jumlah keseluruhan data yang dibagi dengan banyaknya data yang ada. Apabila terdiri atas n, yaitu x1, x2, x3, … xn maka mean dari data tersebut dapat dirumuskan seperti berikut ini:


Contoh Soal dan Penyelesaian:
Nilai rata-rata ulangan harian matematika dari 19 orang siswa adalah 65. Apabila nilai Bejo digabungkan ke dalam kelompok nilai tersebut, maka nilai rata-ratanya berubah menjadi 66. Berapakah nilai ulangan harian matematika yang diperoleh Bejo?

Penyelesaian:
Nilai ulangan harian Bejo: x
Jumlah nilai ulangan harian sekarang = 19 x 65 + x = 1.235 + x
Banyak data sekarang = 19 + 1 = 20

Mean terakhir = 1.235 + x
                                  20
66  = 1.235 + x
             20
66 x 20 = 1.235 + x
1.320 = 1.235 + x
X = 1.320 – 1.235
X = 85

Maka dapat disimpulkan bahwa nilai ulangan harian yang diperoleh Bejo adalah 85.


Median/Nilai Tengah
Di dalam mencari median, data yang diperoleh harus diurutkan terlebih dahulu dari yang paling kecil ke yang paling besar. Perhatikan nilai ulangan matematika yang diperoleh Hasty berikut ini:

80  85  90  88  94  99  87

Nilai tersebut dapat diurutkan menjadi:

80  85  87  88  90  94  99

Setelah nilai tersebut diurutkan coba kalian perhatikan nilai manakah yang berada tepat di tengah-tengah? Nilai yang tepat terletak ditengah-tengah adalah 88. Nilai itulah yang kita sebut sebagai median dari suatu data. Jadi, dapat ditarik kesimpulan bahwa median adalah nilai yang letaknya tepat ditengah-tengah dari sebuah data yang telah diurutkan.

Perlu diingat bahwa apabila banyaknya data adalah ganjil, maka median adalah nilai yang berada tepat ditengah data tersebut setelah diurut. Namun, apabila banyaknya data adalah genap maka median adalah mea (nilai rata-rata) dari dua bilangan yang berada di tengah-tengah data tersebut setelah diurut.

Contoh Soal dan Penyelesaian:

Tentukan median dari data berikut:

12  13  17  11  10  15

Penyelesaian:
Banyak data tersebut adalah genap, sete;ah diurutkan diperoleh:

10  11  12  13  15  17

Karena datanya genap maka mediannya adalah 12 + 13 : 2 = 12,5


Modus
Di dalam sebuah proses pengumpulan data, biasanya akan didapatkan hasil yang bervariasi. Ada data yang muncul hanya sekali da nada juga data yang muncul berkali-kali. Data yang paling sering muncul itulah yang disebut sebagai Modus.

Contoh Soal dan Penyelesaian:
Tentukanlah modus dari data-data berikut ini:
a. 4, 6, 5, 7, 5, 8, 5, 6, 7
b. 1, 3, 2, 4, 2, 3, 5
c. 1, 10, 7, 8, 4, 3, 5, 9

Penyelesaian:
a. angka 5 muncul 3 kali pada data tersebut, maka modusnya adalah 5
b. angka 2 dan 3 memiliki frekuensi yang sama (muncul 2 kali) maka modus dari data tersebut adalah 2 dan 3. Data yang modusnya ada dua disebut sebagai bimodus.
c. karena masing-masing data memiliki frekuensi yang sama maka tidak ada modus.

sumber : http://www.rumusmatematikadasar.com
Home
Back

Pengertian Kisaran Nilai Peluang

Pengertian Kisaran Nilai Peluang

Apabila masing-masing titik sampel di dalam ruang sampel S memiliki peluang yang sama untuk muncul, maka peluang munculnya peristiwa A dalam ruang sampel S adalah:

P(A) = n(A)
            n(S)

n(A) = banyaknya anggota atau titik sampel kejadian A
n(S) = banyaknya anggota atau titik sampel pada ruang sampel S

Perhatikan contoh soal di bawah ini:

Contoh Soal:
Sebuah dadu dilemparkan. Hitunglah peluang munculnya mata dadu:
a. lebih dari 4
b. 7
c. bilangan prima

Penyelesaian:
Karena bentuk dadu simetris dan tidak berat sebelah, maka setiap sisi dadu memiliki peluang yang sama untuk muncul. Kejadian yang mungkin muncul adalah 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 sehingga n(S) = 6.

a. kita umpamakan A adalah kejadian munculnya mata dadu yang lebih dari 4. Maka A = {5, 6} sehingga n(A) = 2.

P(A) = n(A) =  2/6 = 1/3
            n(S)

b. kita umpamakan B adalah kejadian munculnya mata dadu 7. Karena tidak ada mata dadu 7 maka B = { } dan n(B) = 0

P(A) = n(A) =  0/6 = 0
            n(S)

c. misalkan C adalah kejadian munculnya mata dadu berupa bilangan prima. C = {2, 3, 5} maka n(C) = 3.

P(A) = n(A) =  3/6 = 1/2
            n(S)

Batas-Batas Nilai Peluang

Ketika melempar sebuah dadu kita bisa menentukan peluang dari beberapa kejadian, seperti:

a. P(3) = 1/6
b. P(ganjil) = 3/6 = 1/2
c. P(kurang dari 5) = 4/6 = 2/3
d. P(7) = 0/6 = 0
e. P(kurang dari 7) = 6/6 = 1

Dari penjabaran di atas kita bisa menyimpulkan bahwa kisaran nilai peluang pada pelemparan dadu adalah antara 0 dan 1. P(A) = 1 menunjukkan bahwa kejadian itu sudah pasti terjadi atau disebut sebagai suatu Kepastian. Sedangkan P(A) = 0 menunjukkan bahwa kejadian tersebut tidak mungkin terjadi atau deisebut sebagai suatu Kemustahilan.

Dengan demikian, apabila peuang sembarang kejadian A adalah P(A), maka 0 ≤ P(A) ≤ 1. Jika B adalah komplemen dari kejadian A atau B = Ac , P(A) + P(Ac) = 1 atau P(Ac) = 1 – P(A).

Contoh Soal:
Peluang yang dimiliki seorang anak di Papua untuk terkena busung lapar adalah 0,12. Lalu berapakah peluang seorang anak tidak terkena penyakit busung lapar?

Penyelesaian:
P(terkena busung lapar) = 0,11
P(tidak terkena busung lapar) = 1 – P(terkena busung lapar)
P(tidak terkena busung lapar) = 1 – 0,11
P(tidak terkena busung lapar) = 0,89



sumber : http://www.rumusmatematikadasar.com
Back

Pengertian Notasi Himpunan dan Anggota Himpunan

Pengertian Notasi Himpunan dan Anggota Himpunan

- A merupakan himpunan bilangan ganjil dari yang lebih kecil dari 15,
   maka A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}

- B merupakan himpunan bilangan genap antara 1 dan 13
   maka B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

Tiap-tiap objek ataupun benda yang berada di dalam kurung kurawal adalah anggota dari himpunan tersebut. Anggota himpunan biasa disebut juga sebagai elemen yang dinotasikan dengan lambang ∈. Sedangkan objek-objek ataupun benda yang tidak termasuk kedalam suatu himpunan dapat dianggap bukan anggota dari himpunan tersebut dan biasanya dinotasikan dengan lambang ∉.

Jumlah anggota dari suatu himpunan basanya dinyatakan sebagai n. Apabila C = {2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 11} maka banyaknya anggota himpunan B dituliskan sebagai n(C) = 8.


Di dalam matematika, himpunan bilangan tertentu biasanya dilambangkan atau dinotasikan dengan menggunakan huruf kapital tertentu, contohnya:


Contoh soal Notasi dan Anggota Himpunan
a. A adalah himpunan hewan laut.
b. K adalah hmpunan bilangan cacah yang kurang dari 10
c. M adalah himpunan nama bulan yang diawali dengan huruf J.

Jawab:
a. Anggota himpunan hewan laut adalah ikan, gurita, cumi-cumi, kerang, dst. Maka, A = {ikan, gurita, cumi-cumi, kerang,... dsb.}

b. Anggota himpunan bilangan cacah yang kurang dari 10 adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Maka, K = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

c. Anggota himpunan nama bulan yang diawali dengan huruf J adalah Januari, Juni, dan Juli. Maka, M = {Januari, Juni, Juli}

sumber : http://www.rumusmatematikadasar.com
Home
Back

Pengertian, Rumus dan Contoh Himpunan Bagian

Pengertian, Rumus dan Contoh Himpunan Bagian

Rumus dan Contoh Himpunan Bagian

Untuk memahami lebih jauh mengenai himpunan bagian, sekarang perhatikan contoh himpunan di bawah ini:

S = {semua murid kelas 7 di SMP Tunas Mekar}
K = {semua murid kelas 7A di SMP Tunas Mekar}
L = {semua murid perempuan di kelas 7A}
M = {semua murid laki-laki di kelas 7A}

Dari beberapa himpunan di atas, kita bisa menyimpulkan beberapa keterangan seperti:

1. Himpunan L dan M adalah himpunan bagian dari himpunan A karena setiap anggota yang ada pada himpunan L dan M sudah pasti termasuk ke dalam himpunan K (siswa perempuan dan laki-laki di kelas 7A adalah semua siswa di kelas 7A)

2. Himpunan K adalah himpunan bagian dari himpunan S karena setiap anggota yang ada di himpunan K termasuk ke dalam anggota yang ada di himpunan S (Semua siswa kelas 7A sudah pasti termasuk kedalam seluruh siswa kelas 7 yang ada di SMP Tunas Mekar)

3. Himpunan L bukanlah himpunan bagian dari himpunan M (karena anggota himpunan murid laki-laki tidak mungkin dimasukkan ke dalam anggota himpunan murid perempuan) begitupun sebaliknya.


sumber : http://www.rumusmatematikadasar.com
Home
Back

Jenis-jenis Bilangan Pecahan dan Contohnya

Jenis-jenis Bilangan Pecahan dan Contohnya

1. Pecahan Biasa
Pecahan biasa adalah pecahan yang pembilang dan penyebutnya berupa bilangan bulat. Contohnya:

1/3, 2/7, 3/4, dsb.


2. Pecahan Murni
Suatu pecahan bisa disebut sebagai pecahan murni apabila pembilang dan penyebutnya berupa bilangan bulat dan nilai pembilangnya lebih kecil dari penyebut. Contohnya:

1/8, 2/10, 3/16, dsb.


3. Pecahan Campuran
Pecahan ini merupakan kombinasi dari bagian bilangan bulat dan bagian pecahan murni, contohnya:


4. Pecahan Desimal
Merupakan pecahan yang penyebutnya adalah 10, 100, 1000, dst. Yang kemudian dinyatakan dengan tanda koma. Contohnya:

4/10 = 0,4
56/100 = 5,6
3500/1000 = 3,5


5. Persen atau Perseratus
Pecahan yang penyebutnya adalah 100 dan dinyatakan dengan lambang %, contohnya:

7% = 7/100
20% = 20/100
75% = 75/100


6. Permil atau Perseribu
Pecahan yang penyebutnya adalah 1000 dan dinyatakan dengan lambang %%, contohnya:

5%% = 5/1000
14%% = 14/1000
102%% = 102/1000

sumber : http://www.rumusmatematikadasar.com
Home
Back

Contoh Soal Perbandingan Senilai dan Cara Menjawabnya

Contoh Soal Perbandingan Senilai dan Cara Menjawabnya

Contoh Soal 1:
Apabila harga 2 buah buku tulis adalah Rp. 6.500.  Maka berapakah harga dari 2,5 lusin buku tulis?

Penyelesaiannya:
2,5 lusin buku tulis = 12 x 2,5 = 30 buku tulis
2 buku tulis = Rp. 6.500
30 buku tulis = ....?

Maka

2/30 = 6.500/....?
? = 6.500 x 30/2
? = 97.500

Maka, harga 2,5 lusin buku tulis adalah Rp. 97.500


Contoh Soal 2:
Harga dari 5 liter solar adalah Rp. 28.000. Apabila  Pak Udin membeli bensin dengan uang sejumlah Rp.  43.000, maka berapa liter solar yang akan ia  peroleh?

Penyelesaiannya:

5 liter solar = RP. 28.000
? Liter solar = Rp. 43.000

Maka

28.000/43.000 = 5 liter/ ....?
? = 5 x 43.000/28.000
? =215.000/428.000
? = 9,34 liter

Maka solar yang akan dieroleh pak Udin adalah 9,34  liter


Contoh Soal 3:
Sebuah motor membutuhkan 8 liter bensin untuk  menempuh jarak 240km. Tentukan jarak yang bisa  ditempuh oleh motor tersebut apabila di dalam  tangki motor tersebut terdapat 12 liter bensin.

Penyelesaiannya:

8 liter = 240 km
12 liter = ...?

Maka

8/12 = 240/...?
? = 240 x 12/8
? = 2880/8
? = 360 km

Maka, jarak yang bisa ditempu motor tersebut dengan  bensin yang tersedia adalah 360 km.

Contoh Soal 4:
Apabila dengan uang sebesar Rp.75.000 kita bisa  membeli 5 Kg buah mangga, maka berapa Kilogram  mangga yang bisa kita peroleh dengan uang sebesar  Rp.25.000?

Penyelesaiannya:

Rp. 75.000 = 5 Kg
Rp. 25.000 = ...?

Maka

75.000/25.000 = 5/...?
? = 5 x 25.000/75.000
? = 1,6 Kg

Jadi mangga yang bisa diperoleh dengan uang sebesar  Rp.25.000 adalah 1,6 Kilogram.


Contoh Soal 5:
Sebuah memiliki berat 4,5 kg dan tiap-tiap kardus  memiliki berat yang sama. Tentukan banyaknya kardus  apabila tumpukan tersebut beratnya adalah 3  kilogram.

Jawab:
36 kardus = 4,5 kg
? Kardus = 3 kg

Maka

36 kardus/? Kardus = 4,5 kg/3 kg
? Kardus = 36 kardus . 3 kg/4,5kg
? Kardus = 24 kardus

Jadi, banyaknya kardus apabila tumpukan tersebut  beratnya 3 kg adalah  24 buku


sumber : http://www.rumusmatematikadasar.com
Home
Back

Cara Mudah Menghitung Luas Permukaan Bidang Empat Beraturan

Cara Mudah Menghitung Luas Permukaan Bidang Empat Beraturan

Pertama-tama kalian harus memperhatikan gambar limas segitiga sama sisi (bidang empat beraturan) T.ABC berikut ini:

Bila diperhatikan, pada bangun ruang di atas terdapat empat buah segitiga sama sisi yang luasnya tentu saja sama. Segitiga sama sisi itu adalah ΔABC, ΔBCT, ΔACT, dan ΔABT. Rumus mudah dan cepat untuk menghitung lkuas segitiga sama sisi tersebut adalah:

 L.Δ = ¼s2√3

Ada empat permukaan bidang empat (limas segitiga sama sisi) dengan luas yang sama pada gambar di atas, maka:
L = 4 × L.Δ
L = 4 × ¼s2√3
L = s2√3

Jadi, rumus untuk mencari volume (V) bidang empat beraturan yang memiliki panjang rusuk (s) adalah:

L = s2√3

Contoh Soal 1:

Diketahui sebuah bidang empat beraturan mempunyai panjang rusuk 8 cm. Berapakah  luas permukaan bidang empat beraturan tersebut?

Penyelesaiannya:
L = s2√3
V = (8 cm)2√3
V = 64√3 cm2

Jadi, luas permukaan bidang empat beraturan tersebut adalah 64√3 cm2



sumber : http://www.rumusmatematikadasar.com
Home
Home